MATHEMATICS STANDARD QUESTION PAPER
सामान्य निर्देश / General Instructions
सामान्य निर्देश :
निम्नलिखित निर्देशों को बहुत सावधानी से पढ़िए और उनका सख्ती से पालन कीजिए :
(i) इस प्रश्न-पत्र में 38 प्रश्न हैं। सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।
(ii) यह प्रश्न-पत्र पाँच खण्डों में विभाजित है – क, ख, ग, घ एवं ङ।
(iii) खण्ड क में प्रश्न संख्या 1 से 18 तक बहुविकल्पीय (MCQ) तथा प्रश्न संख्या 19 एवं 20 अभिकथन एवं तर्क आधारित 1 अंक के प्रश्न हैं।
(iv) खण्ड ख में प्रश्न संख्या 21 से 25 तक अति लघु-उत्तरीय (VSA) प्रकार के 2 अंकों के प्रश्न हैं।
(v) खण्ड ग में प्रश्न संख्या 26 से 31 तक लघु-उत्तरीय (SA) प्रकार के 3 अंकों के प्रश्न हैं।
(vi) खण्ड घ में प्रश्न संख्या 32 से 35 तक दीर्घ-उत्तरीय (LA) प्रकार के 5 अंकों के प्रश्न हैं।
(vii) खण्ड ङ में प्रश्न संख्या 36 से 38 तक प्रकरण अध्ययन आधारित 4 अंकों के प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रकरण अध्ययन में आंतरिक विकल्प 2 अंकों के प्रश्न में दिया गया है।
(viii) प्रश्न-पत्र में समग्र विकल्प नहीं दिया गया है। यद्यपि, खण्ड ख के 2 प्रश्नों में, खण्ड ग के 2 प्रश्नों में, खण्ड घ के 2 प्रश्नों में तथा खण्ड ङ के 3 प्रश्नों में आंतरिक विकल्प का प्रावधान दिया गया है।
(ix) जहाँ आवश्यक हो स्वच्छ आकृतियाँ बनाइए। जहाँ आवश्यक हो π=722 लीजिए, यदि अन्यथा न दिया गया हो।
(x) कैल्कुलेटर का उपयोग वर्जित है।
General Instructions :
Read the following instructions very carefully and strictly follow them:
(i) This question paper contains 38 questions. All questions are compulsory.
(ii) This question paper is divided into five Sections – A, B, C, D and E.
(iii) In Section A, Questions no. 1 to 18 are multiple choice questions (MCQs) and questions number 19 and 20 are Assertion-Reason based questions of 1 mark each.
(iv) In Section B, Questions no. 21 to 25 are very short answer (VSA) type questions, carrying 2 marks each.
(v) In Section C, Questions no. 26 to 31 are short answer (SA) type questions, carrying 3 marks each.
(vi) In Section D, Questions no. 32 to 35 are long answer (LA) type questions carrying 5 marks each.
(vii) In Section E, Questions no. 36 to 38 are case study based questions carrying 4 marks each. Internal choice is provided in 2 marks questions in each case study.
(viii) There is no overall choice. However, an internal choice has been provided in 2 questions in Section B, 2 questions in Section C, 2 questions in Section D and 3 questions in Section E.
(ix) Draw neat diagrams wherever required. Take π=722 wherever required, if not stated.
(x) Use of calculator is not allowed.
खण्ड क / SECTION A
(प्रश्न संख्या 1 से 20 तक प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है / Questions 1 to 20 carry 1 mark each)
1. 960 और 240 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है :
The LCM of 960 and 240 is :
(A) 960
(B) 240
(C) 60
(D) 15
2. प्राकृत संख्या 1 :
The natural number 1 is:
(A) एक अभाज्य संख्या है / a prime number.
(B) एक भाज्य संख्या है / a composite number.
(C) अभाज्य और भाज्य दोनों है / prime as well as composite.
(D) न तो अभाज्य और न ही भाज्य है / neither prime nor composite.
3. किसी प्राकृत संख्या n के लिए, 5n का इकाई अंक होता है :
For any natural number n, 5n ends with the digit :
(A) 0
(B) 5
(C) 3
(D) 2
4. ग्राफ y=f(x) दिया गया है। y=f(x) के भिन्न शून्यकों की संख्या है :
The graph of y=f(x) is given. The number of distinct zeroes of y=f(x) is :
(Image: A curve crossing the x-axis at A on the negative side and touching the positive x-axis at one point)
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
5. यदि α और β बहुपद f(x)=px2−2x+3p के दो शून्यक हैं और α+β=αβ है, तो p का मान है :
If α and β are two zeroes of a polynomial f(x)=px2−2x+3p and α+β=αβ, then value of p is:
(A) −32
(B) 32
(C) 31
(D) −31
6. यदि रैखिक समीकरणों का युग्म : a1x+b1y+c1=0 और a2x+b2y+c2=0 संगत एवं आश्रित है, तो :
If the pair of linear equations: a1x+b1y+c1=0 and a2x+b2y+c2=0 is consistent and dependent, then :
(A) a2a1=b2b1
(B) a2a1=b2b1=c2c1
(C) a2a1=b2b1=c2c1
(D) a2a1=b2b1=c2c1
7. निम्नलिखित में से कौन-सा अनुक्रम एक समांतर श्रेढ़ी (A.P.) नहीं है ?
Which of the following sequence is not an A.P. ?
(A) 2,25,3,27,…
(B) −1.2,−3.2,−5.2,−7.2,…
(C) 2,8,18,…
(D) 12,32,52,72,…
8. त्रिभुजों ABC और PQR में, ∠A=∠Q और ∠B=∠R है, तो AB:AC बराबर है :
In triangles ABC and PQR, ∠A=∠Q and ∠B=∠R, then AB:AC is equal to:
(A) PQ:PR
(B) PQ:QR
(C) QR:QP
(D) PR:QR
9. बिंदु A(4a,3a) की x-अक्ष से दूरी है :
The distance of the point A(4a,3a) from x-axis is :
(A) 3a
(B) −3a
(C) 4a
(D) −4a
10. यदि cosA=54 है, तो tanA का मान है :
If cosA=54, then the value of tanA is:
(A) 53
(B) 43
(C) 34
(D) 35
11. यदि 2sinA=1 है, तो tanA+cotA का मान है :
If 2sinA=1, then the value of tanA+cotA is:
(A) 3
(B) 34
(C) 23
(D) 1
12. जमीन पर एक बिंदु से, जो एक ऊर्ध्वाधर मीनार के पाद से 60 m दूर है, मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 45∘ पाया जाता है। मीनार की ऊँचाई (मीटर में) है :
From a point on the ground, which is 60 m away from the foot of a vertical tower, the angle of elevation of the top of the tower is found to be 45∘. The height (in metres) of the tower is :
(A) 103
(B) 303
(C) 60
(D) 30
13. दिए गए चित्र में, PA और PB केन्द्र O वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि ∠OAB=15∘, तो ∠APB का मान बराबर है :
In the given figure, PA and PB are tangents to a circle centred at O. If ∠OAB=15∘, then ∠APB equals :
(A) 30∘
(B) 15∘
(C) 45∘
(D) 10∘
14. दिए गए चित्र में, PA और PB केन्द्र O वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि ∠AOB=130∘, तो ∠APB का मान बराबर है :
In the given figure, PA and PB are tangents to a circle centred at O. If ∠AOB=130∘, then ∠APB is equal to :
(A) 130∘
(B) 50∘
(C) 120∘
(D) 90∘
15. त्रिज्या 'r' तथा केन्द्रीय कोण 60∘ वाले एक वृत्तखंड का क्षेत्रफल है :
Area of a segment of a circle of radius 'r' and central angle 60∘ is:
(A) 2πr2−21r2
(B) 42πr−43r2
(C) 6πr2−43r2
(D) 42πr−r2sin60∘
16. एक अर्धगोलाकार कटोरा स्टील से बना है, जिसकी मोटाई 1 cm है। कटोरे की बाहरी त्रिज्या 6 cm है। प्रयुक्त स्टील का आयतन (cm3 में) है :
A hemispherical bowl is made of steel of thickness 1 cm. The outer radius of the bowl is 6 cm. The volume of steel used (in cm3) is :
(A) 182π
(B) 3182π
(C) 3682π
(D) 3364π
17. एक बारंबारता बंटन का माध्य और माध्यक क्रमशः 43 और 43.4 हैं। इस बंटन का बहुलक है :
The mean and median of a frequency distribution are 43 and 43.4 respectively. The mode of the distribution is :
(A) 43.4
(B) 42.4
(C) 44.2
(D) 49.3
18. 1,2,3,4,…,25 तक की संख्याओं में से यादृच्छिक रूप से चुनी गई एक संख्या के भाज्य संख्या होने की प्रायिकता है :
The probability for a randomly selected number out of 1,2,3,4,…,25 to be a composite number is :
(A) 2515
(B) 2510
(C) 2511
(D) 259
निर्देश (प्रश्न 19 और 20 के लिए) :
(A) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं और तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है।
(B) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं, परन्तु तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है।
(C) अभिकथन (A) सही है, परन्तु तर्क (R) ग़लत है।
(D) अभिकथन (A) ग़लत है, परन्तु तर्क (R) सही है।
Directions (For Q. 19 & 20):
(A) Both Assertion (A) and Reason (R) are true and Reason (R) is the correct explanation of the Assertion (A).
(B) Both Assertion (A) and Reason (R) are true, but Reason (R) is not the correct explanation of the Assertion (A).
(C) Assertion (A) is true, but Reason (R) is false.
(D) Assertion (A) is false, but Reason (R) is true.
19.
• अभिकथन (A) : 4 cm भुजा वाले दो घनों को सिरे-से-सिरा मिलाकर बनाए गए घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल 160 cm2 है।
• तर्क (R) : विमाओं l×b×h वाले घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल (lb+bh+hl) होता है।
• Assertion (A) : The surface area of the cuboid formed by joining two cubes of sides 4 cm each, end-to-end, is 160 cm2.
• Reason (R) : The surface area of a cuboid of dimensions l×b×h is (lb+bh+hl).
20.
• अभिकथन (A) : प्रथम 'n' प्राकृत संख्याओं का माध्य 2n−1 है।
• तर्क (R) : प्रथम 'n' प्राकृत संख्याओं का योगफल 2n(n+1) है।
• Assertion (A) : The mean of first 'n' natural numbers is 2n−1.
• Reason (R) : The sum of first 'n' natural numbers is 2n(n+1).
खण्ड ख / SECTION B
(प्रश्न संख्या 21 से 25 तक प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का है / Questions 21 to 25 carry 2 marks each)
21. यदि α,β द्विघात बहुपद px2+qx+r के शून्यक हैं, तो α3β+β3α का मान ज्ञात कीजिए।
If α,β are the zeroes of the quadratic polynomial px2+qx+r, then find the value of α3β+β3α.
22. (क) दिए गए चित्र में, ΔAHK∼ΔABC है। यदि AK=10 cm, BC=3.5 cm और HK=7 cm है, तो AC की लंबाई ज्ञात कीजिए।
(a) In the given figure, ΔAHK∼ΔABC. If AK=10 cm, BC=3.5 cm and HK=7 cm, find the length of AC.
(अथवा / OR)
(ख) दिए गए चित्र में, XY∥QR, XQPQ=37 और PR=6.3 cm है। YR की लंबाई ज्ञात कीजिए।
(b) In the given figure, XY∥QR, XQPQ=37 and PR=6.3 cm. Find the length of YR.
23. यदि बिंदु A(4,5), B(m,6), C(4,3) और D(1,n) एक समांतर चतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं, तो m और n के मान ज्ञात कीजिए।
If the points A(4,5), B(m,6), C(4,3) and D(1,n) taken in this order are the vertices of a parallelogram ABCD, then find the values of m and n.
24. (क) यदि tanθ+tanθ1=2 है, तो tan2θ+tan2θ1 का मान ज्ञात कीजिए।
(a) If tanθ+tanθ1=2, find the value of tan2θ+tan2θ1.
(अथवा / OR)
(ख) सिद्ध कीजिए कि : 1+sinθ1−sinθ=secθ−tanθ
(b) Prove that: 1+sinθ1−sinθ=secθ−tanθ
25. दिए गए चित्र में, O वृत्त का केंद्र है। PQ तथा PR स्पर्श रेखाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज PQOR चक्रीय है।
In the given figure, O is the centre of the circle. PQ and PR are tangents. Show that the quadrilateral PQOR is cyclic.
खण्ड ग / SECTION C
(प्रश्न संख्या 26 से 31 तक प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का है / Questions 26 to 31 carry 3 marks each)
26. सिद्ध कीजिए कि 5 एक अपरिमेय संख्या है।
Prove that 5 is an irrational number.
27. बिंदुओं A(−1,4) और B(−3,−2) को मिलाने वाले रेखाखंड के समत्रिभाजन बिंदुओं (points of trisection) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Find the coordinates of the points of trisection of the line segment joining the points A(−1,4) and B(−3,−2).
28. (क) सिद्ध कीजिए कि :
sec2θ−1sec3θ+cosec2θ−1cosec3θ=secθ⋅cosecθ(secθ+cosecθ)
(a) Prove that:
sec2θ−1sec3θ+cosec2θ−1cosec3θ=secθ⋅cosecθ(secθ+cosecθ)
(अथवा / OR)
(ख) यदि cosecβsecα=p और cosecβtanα=q है, तो सिद्ध कीजिए कि (p2−q2)sec2α=p2।
(b) If cosecβsecα=p and cosecβtanα=q, then prove that (p2−q2)sec2α=p2.
29. (क) सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।
(a) Prove that the lengths of tangents drawn from an external point to a circle are equal.
(अथवा / OR)
(ख) केंद्र O वाले वृत्त के बाह्य बिंदु T से दो स्पर्श रेखाएँ TP और TQ खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠PTQ=2∠OPQ।
(b) Two tangents TP and TQ are drawn to a circle with centre O from an external point T. Prove that ∠PTQ=2∠OPQ.
30. 42 cm त्रिज्या तथा 30∘ केंद्रीय कोण वाले वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही, संगत दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। [π=722 लीजिए]
Find the area of the sector of a circle of radius 42 cm and of central angle 30∘. Also, find the area of the corresponding major sector. [Use π=722]
31. दो पासों को एक साथ फेंका जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i) दोनों पासों पर आने वाली संख्याओं का योगफल 5 हो, और (ii) दोनों पासों पर आने वाली संख्याओं का अंतर 3 हो।
Two dice are thrown at the same time. Determine the probability that the (i) sum of the numbers on the two dice is 5, and (ii) difference of the numbers on the two dice is 3.
खण्ड घ / SECTION D
(प्रश्न संख्या 32 से 35 तक प्रत्येक प्रश्न 5 अंक का है / Questions 32 to 35 carry 5 marks each)
32. आरुष ने 2 पेंसिलें और 3 चॉकलेट ₹ 11 में खरीदीं तथा तनिष ने उसी दुकान से 1 पेंसिल और 2 चॉकलेट ₹ 7 में खरीदीं। इस स्थिति को रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए। ग्राफीय विधि से 1 पेंसिल और 1 चॉकलेट का मूल्य ज्ञात कीजिए।
Aarush bought 2 pencils and 3 chocolates for ₹ 11 and Tanish bought 1 pencil and 2 chocolates for ₹ 7 from the same shop. Represent this situation in the form of a pair of linear equations. Find the price of 1 pencil and 1 chocolate, graphically.
33. (क) एक व्यक्ति के पास यात्रा व्यय के लिए ₹ 4,200 हैं। यदि वह अपनी यात्रा की अवधि 3 दिन बढ़ा देता है, तो उसे दैनिक व्यय में ₹ 70 की कटौती करनी पड़ती है। यात्रा की वास्तविक अवधि ज्ञात कीजिए।
(a) A person on a tour has ₹ 4,200 for expenses. If he extends his tour for 3 days, he has to cut down his daily expenses by ₹ 70. Find the original duration of the tour.
(अथवा / OR)
(ख) एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 600 cm2 है। यदि त्रिभुज का आधार, ऊँचाई से 10 cm अधिक है, तो इसकी तीनों विमाएँ ज्ञात कीजिए।
(b) The area of a right-angled triangle is 600 cm2. If the base of the triangle exceeds the altitude by 10 cm, find all the three dimensions of the triangle.
34. (क) सिद्ध कीजिए कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर एक रेखा खींची जाए जो अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करे, तो अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित होती हैं।
(a) Prove that if a line is drawn parallel to one side of a triangle to intersect the other two sides in distinct points, then the other two sides are divided in the same ratio.
(अथवा / OR)
(ख) जैसा कि दिए गए चित्र में दर्शाया गया है, एक 90 cm लंबी लड़की एक लैंप पोस्ट के पाद से 1.2 m/s की चाल से दूर जा रही है। यदि लैंप जमीन से 3.6 m ऊपर है, तो 4 सेकंड बाद उसकी परछाई की लंबाई ज्ञात कीजिए।
(b) As shown in the given figure, a girl of height 90 cm is walking away from the base of a lamp post at a speed of 1.2 m/s. If the lamp is 3.6 m above the ground, find the length of her shadow after 4 seconds.
35. एक एसबीआई स्वास्थ्य बीमा एजेंट ने 100 पॉलिसीधारकों की आयु के वितरण के लिए निम्नलिखित आँकड़े एकत्र किए। स्वास्थ्य बीमा पॉलिसियाँ उन व्यक्तियों को दी जाती हैं जिनकी आयु 15 वर्ष या उससे अधिक, लेकिन 60 वर्ष से कम है।
An SBI health insurance agent found the following data for distribution of ages of 100 policy holders. The health insurance policies are given to persons of age 15 years and onwards, but less than 60 years.
आयु (वर्ष में) / Age (in yrs) पॉलिसीधारकों की संख्या / Number of policy holders
15–20 2
20–25 4
25–30 18
30–35 21
35–40 33
40–45 11
45–50 3
50–55 6
55–60 2
पॉलिसीधारकों की बहुलक आयु एवं माध्यक आयु ज्ञात कीजिए।
Find the modal age and median age of the policy holders.
खण्ड ङ / SECTION E
(प्रकरण अध्ययन आधारित प्रश्न / Case Study Based Questions – प्रत्येक 4 अंक / 4 marks each)
प्रकरण अध्ययन – 1 / Case Study – 1
36. आपका बड़ा भाई एक कार खरीदना चाहता है और उसने कार के लिए बैंक से ऋण लेने की योजना बनाई। वह ₹ 1,18,000 की कुल ऋण राशि का भुगतान प्रथम किस्त ₹ 1,000 से शुरू करता है और प्रत्येक महीने किस्त में ₹ 100 की वृद्धि करता है।
Your elder brother wants to buy a car and plans to take a loan from a bank for his car. He repays his total loan of ₹ 1,18,000 by paying every month, starting with the first instalment of ₹ 1,000 and he increases the instalment by ₹ 100 every month.
(i) 30वीं किस्त में उसके द्वारा चुकाई गई राशि ज्ञात कीजिए। / Find the amount paid by him in the 30th instalment. [1 Mark]
(ii) यदि किस्तों की कुल संख्या 40 है, तो अंतिम किस्त में चुकाई गई राशि कितनी है ? / If the total number of instalments is 40, what is the amount paid in the last instalment ? [1 Mark]
(iii) (क) 30वीं किस्त के बाद उसे अभी कितनी राशि चुकानी शेष है ? / (a) What amount does he still have to pay after the 30th instalment? [2 Marks]
(अथवा / OR)
(iii) (ख) 10वीं किस्त और अंतिम किस्त का अनुपात ज्ञात कीजिए। / (b) Find the ratio of the tenth instalment to the last instalment. [2 Marks]
प्रकरण अध्ययन – 2 / Case Study – 2
37. तेजस एक इमारत के शीर्ष पर खड़ा है और कार को 30∘ के अवनमन कोण पर देखता है, जो इमारत के पाद की ओर एकसमान चाल से आ रही है। 6 सेकंड बाद, अवनमन कोण बढ़कर 60∘ हो जाता है और उस समय कार इमारत से 25 m दूर है।
Tejas is standing at the top of a building and observes a car at an angle of depression of 30∘ as it approaches the base of the building at a uniform speed. 6 seconds later, the angle of depression increases to 60∘, and at that moment, the car is 25 m away from the building.
(i) इमारत की ऊँचाई क्या है ? / What is the height of the building? [1 Mark]
(ii) कार की दो स्थितियों के बीच की दूरी क्या है ? / What is the distance between the two positions of the car ? [1 Mark]
(iii) (क) कार को प्रारंभिक बिंदु से इमारत के पाद तक पहुँचने में कुल कितना समय लगेगा ? / (a) What would be the total time taken by the car to reach the foot of the building from the starting point? [2 Marks]
(अथवा / OR)
(iii) (ख) जब अवनमन कोण 60∘ होता है, तो प्रेक्षक से कार की दूरी क्या है ? / (b) What is the distance of the observer from the car when it makes an angle of 60∘? [2 Marks]
प्रकरण अध्ययन – 3 / Case Study – 3
38. एक रविवार को आपके माता-पिता आपको एक मेले में ले गए। आपने वहाँ बहुत सारे खिलौने देखे और आपने उनसे आपके लिए रूबिक क्यूब और स्ट्रॉबेरी आइसक्रीम खरीदने को कहा।
On a Sunday your parents took you to a fair. You could see lot of toys displayed and you wanted them to buy a Rubik's cube and a strawberry ice-cream for you.
(i) यदि रूबिक क्यूब के प्रत्येक किनारे की लंबाई 6 cm है, तो इसके विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए। / Find the length of the diagonal of Rubik's cube if each edge measures 6 cm. [1 Mark]
(ii) यदि रूबिक क्यूब के प्रत्येक किनारे की लंबाई 7 cm है, तो इसका आयतन ज्ञात कीजिए। / Find the volume of Rubik's cube if the length of the edge is 7 cm. [1 Mark]
(iii) (क) यदि अर्धगोलाकार आइसक्रीम की आधार त्रिज्या 7 cm है, तो इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है ? / (a) What is the curved surface area of hemisphere (ice-cream) if the base radius is 7 cm? [2 Marks]
(अथवा / OR)
(iii) (ख) यदि 4 cm किनारे वाले दो घनों को सिरे-से-सिरा मिलाकर जोड़ा जाए, तो बने घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। / (b) If two cubes of edges 4 cm are joined end-to-end, then find the surface area of the resulting cuboid. [2 Marks]
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